Već tradicionalno, Saša i ja napravimo prvojanuarsku večernju šetnju Novim Sadom, pa je tako bilo i ovog 1. januara 2024. Naravno, usput napravimo pauzu u „Bezi“, na Štrandu, gde nazdravimo ili kuvanim vinom ili točenim pivom. Seli smo, i nekako nas je razgovor odveo na astrofizičke teme: Sećaš li se da sam ti pominjao onaj hipotetički pad tela bačenog kroz tunel iskopan kroz centar Zemlje, sve do suprotne tačke na Zemljinoj površini – šta misliš koliko bi pad trajao? – rekoh. 

Čekaj malo, reče Saša i lati se svog telefona, ukuca nešto karaktera i reče k’o iz puške: 42 minuta i 12 s ! Kaže, pitao je ChatGPT.  

Pošto sam ranije izračunao da period oscilovanja tela bačenog kroz hipotetički tunel kroz centar Zemlje duž njenog prečnika od 12 742 km (znači vreme proteklo za ukupan put od mesta bacanja, pa do suprotne tačke, i ponovo nazad odakle je bačeno) iznosi 5063 s, odnosno 84 minuta i 24 sekunde (tačno dvostruka vrednost od onog što je Saša rekao), bilo je jasno da je odgovor tačan, pa rekoh – eto ne vredi započinjati priču. Ali će Saša na to: ma kako ne vredi – pričaj, pa ovo je samo krajnji rezultat, ali je važno kako se do njega dolazi! 

Važi, rekoh, evo onda objašnjenja.

Posmatrajmo Sliku 1., koja prikazuje Zemlju čija je masa Mz, i poluprečnik Rz kroz koju je prokopan tunel do suprotne tačke na njenoj površini. Telo mase m, bačeno je kroz tunel, i neka je njegov trenutni položaj u tački koja se nalazi na rastojanju r od centra Zemlje. 

Slika1. 

Smatrajmo, radi jednostavnosti računa da je Zemlja homogena kugla, čija je gustina ρ (ovo neće uticati na krajnji rezultat ). Na telo koje pada kroz tunel, zbog simetrije u raspodeli mase, uticaće gravitaciono samo ona masa Zemlje , m_r , koja se nalazi ispod tela u određenom trenutku (tj. unutar sfere poluprečnika r: 

tj. Izraženo preko mase Zemlje i njenog poluprečnika: 

Dakle gravitaciona sila (koja je usmerena ka centru Zemlje, tj. suprotno od vektora položaja tačke na rastojanju r od centra), koja deluje na telo u određenom momentu je: 

gde je Υ univerzalana gravitaciona konstanta. 

Kombinujući (1) i (2), sledi: 

Dalje, prema II Njutnovom zakonu za kretanje tela važi: 

gde je m masa tela, a ubrzanje tela, dok je F sila koja deluje na telo. 

Ubacujući (3) u (4), sledi: 

pri čemu smo ubrzanje tela izrazili kao drugi izvod njegovog položaja 

r po vremenu: 

Iz (5) sledi:

što znači da kretanje tela kroz tunel neće zavisiti od njegove mase ( za koju smatramo da je mnogo manja od mase Zemlje).

Jednačina (6) je jednačina jednostavnog harmonijskog kretanja. Frekvencija oscilovanja , ν se nalazi zamenom rešenja , r(t), koje ima

oblik: 𝑟(𝑡) = 𝑅𝑧 sin 2πν𝑡 , u jednačinu (6), što znači da treba da nađemo i drugi izvod 𝑟(𝑡), po vremenu, tj.:

i ovaj izraz, takođe, zamenimo u (6), pa konačno dobijamo:

Malo ćemo transformisati dobijeni izraz, znajući da je na površini Zemlje za telo koje miruje na njenoj površini, težina tela jednaka intenzitetu gravitacione sile, tj.:

gde je 𝑔 gravitaciono ubrzanje na površini Zemlje:

Ubacujući prethodni izraz u (7), i izražavajući frekvenciju oscilovanja tela ν duž hipotetičkog tunela koji se pruža Zemljinim prečnikom, sledi:

Ubacujući numeričke podatke:

imamo:

pa je period oscilovanja recipročna vrednost frekvencije:

Author: Dušan Mrđa

Dr Dušan Mrđa, redovni profesor na Prirodno-matematičkom fakultetu u Novom Sadu. Istaknuti naučnik srednje generacije. Objavio velik broj radova u prestižnim stranim stručnim i naučnim časopisima.