ponovljen članak 26.3.2024.
Fenomenalnog starogrčkog matematičara, astronoma, geografa i pesnika Eratostena (grč. Ερατοσθενης) iz Kirene[1] danas smatramo velikanom antičke astronomije, a mnogi za jednog ako ne najboljeg a ono svakako najlucidnijeg među njima.
Obrazovanje je sticao kod kirenskog gramatičara Lizanija (grč. Λυσανιας) i filosofa Aristona (grč. Αριστων) sa Kiosa, Zenonovog učenika. Učio je takođe i kod naučnika i pesnika Kalimaha (grč. Καλλιμαχος), takođe rođenog u Kireni. Tokom školovanja, Eratosten je proveo nekoliko godina u Atini i Aleksandriji.
U to vreme Aleksandrija je bila svetski grad – centar trgovine, znanja i mudrosti. Karavani su danonoćno dolazili iz čitavog tadašnjeg sveta, a sa njima i nove ideje i znanja drugih naroda. Tadašnji egipatski vladar Ptolomej I Soter[2] (”Spasitelj”) došao je na ideju da po ugledu na Atinu i u Aleksandriji stvori jednu veliku biblioteku i muzej. Realizaciju tog složenog projekta prepustio je sinu i nasledniku, Ptolomeju II. Sama biblioteka je bila bazirana na prepisima bezbrojnih knjiga iz Aristotelove atinske biblioteke, a njena organizacija je prvobitno bila poverena njegovom đaku Demetriju Falereusu, poznatom atinskom oratoru i bibliotekaru. Kralj Ptolomej II je za sledećeg bibliotekara odabrao Eratostenovog učitelja Kalimaha. Kada je 246 p.n.e. Ptolomej III[3] (”Dobrotvor”) nasledio presto, pozvao je Eratostena da dođe u Aleksandriju i postane tutor njegovom sinu Filopatoru, da bi ga nakon Kalimahove smrti 225 p.n.e. postavio za trećeg po redu bibliotekara u hramu Muza, slavnom Museionu. Govorilo se da je biblioteka posedovala zbirku od oko 700.000 svitaka papirusa i pergamenta. Tu se na jednom mestu nalazila celokupna mudrost, kulturno i naučno nasleđe tadašnjeg sveta neprocenjive vrednosti: glinene tablice starog Vavilona i Mesopotamije, bezbrojni egipatski papirusi iz preddinastičkog perioda, neprocenjivi indijski rukopisi koje je donosila vojska Aleksandra Makedonskog, bogata persijska dokumentacija, i još mnogo toga.
I pored ugleda vrhunskog i svestranog naučnika, savremenici nisu smatrali da je Eratosten podoban za najviši rang. Istoričar ser Thomas Heath[4] piše:
”... [Eratosten] je odista od svojih savremenika smatran za istaknutog čoveka u svim granama nauke, iako mu je za svaku od njih nedostajalo samo malo do najviših pozicija. Ranije su ga nazivali Beta, kao i Pentathlos, što je značilo isto – ’drugi ’, predstavljajući ga kao jednog svestranog atletu koji nije šampionski trkač ili rvač, ali je kao drugoplasirani jednako dobar kao i oni ... ”
Svakako je da je to grub nadimak za čoveka čijih se dostignuća iz mnogih oblasti sećamo i danas, ne samo istorijski, već i kao temelja mnogih savremenih naučnih metoda.
Pisao je mnoge radove, ali oni nažalost nisu sačuvani. Jedan od važnijih jeste ”Platonicus”, u kome se pod uticajem Platonovog učenja bavio matematikom. To delo je izgubljeno, ali nas Teon iz Smirne oduševljeno obaveštava da u njemu Eratosten tako lako govori o osnovnim definicijama geometrije i aritmetike, kao da je tema razmatranja muzika.
Još jedan izvor informacija o Eratostenovom životu i radu jesu razni spisi drugih naučnika. Jedan od takvih je i Eutociusov komentar Arhimedovog dela o loptama i valjcima, u kome pominje Eratostenovo pismo Ptolomeju III i njegov opis istorije problematike dupliranja zapremine kocke, a posebno jednu mehaničku napravu za deljenje linija u razmeri a : x = x : y = y : b koju je sâm izmislio.
Eratosten je radio i na problemu prostih brojeva[5]. Zapamćeno je ono što danas nazivamo Eratostenovim sitom, koje je i danas, u nešto savremenijoj formi, važno oruđe u istraživanju teorije brojeva. Sito se pominje i u Nikomedovim[6]109 ”Upoznavanjima aritmetike ”.
Poslednji veliki grčki geometričar, Papos iz Aleksandrije, pominje još jednu Eratostenovu knjigu, ”O sredstvima”, za koju kaže da predstavlja važan udžbenik geometrije. I u oblasti geodezije će ostati večno upamćen po svom pokušaju merenju obima Zemlje. Detalji tog njegovog dela su danas izgubljeni, ali neki delovi proračuna su ostali sačuvani u radovima drugih autora, poput Klemedesa, Teona iz Smirne i Strabona.
Pored toga, Eratosten je uradio i mnogo drugih stvari koje će dovesti do napretka nauke. Recimo, izradio je kalendar koji ima prestupne godine, a udario je i temelje sistematičnoj hronografiji sveta, pokušavajući da datira sve političke i književne događaje od pada Troje nadalje. Takođe je izjavljivao da poseduje precizni katalog sa 675 nepokretnih zvezda.
Dao je nemerljiv doprinos i razvoju geografije i bio čovek koji će je uzdići na nivo prave nauke. Nacrtao je, vrlo precizno, tok Nila sve do Kartuma, prikazavši i dve etiopske pritoke, uz sugestije da su njegova izvorišta zapravo udaljena planinska jezera. Mnogi naučnici pre Eratostena su se trudili da izrade studije o Nilu, pokušavajući da objasne prilično čudno ponašanje te mitske reke, ali je većina njih, kao i Tales, zastupala pogrešna stanovišta. Eratosten je bio prvi koji je zaključio da negde u gornjim tokovima treba da padaju obimne kiše da bi kasnije izazivale poplave u plodnim dolinama Egipta.
Još jedan doprinos geografiji ogleda se i u tome što je opisao regiju nazvanu Eudaimon Arabia (današnji Jemen) kao stecište četiri različite rase. Tadašnje stanje je bilo malo složenije nego što ga je on shvatao, ali imena rasa koje je tad predložio, Mineanci, Sabeanci, Katabanijanci, i Hadramiti, još i danas su u upotrebi.
Rekonstruisana Eratostenova mapa poznatog sveta iz II veka p.n.e.
Eratostenovo pisanje sadrži i poemu ”Hermes”, inspirisanu astronomijom i pisanom za pozorište, kao i rad iz etike, omiljene teme starih Grka. Nažalost, već smo rekli da je većina njegovih dela izgubljena, dok su sačuvani samo osvrti ponekih savremenika i sledbenika.
U starosti je potpuno oslepeo i onemoćao, i ne želeći dalje da živi, u devetoj deceniji života je skončao život gladovanjem.
Među mnogim Eratostenovim dostignućima svakako je najveće i najznačajnije ono koje se odnosi na precizno određivanje prečnika Zemlje. Da vidimo kako je to uradio.
Sa širenjem teritorijalnih i kulturnih horizonata klasičnih civilizacija narastala je i potreba za merenjem udaljenosti. Koristeći krajnje elegantan matematički rezon i minimalna empirijska merenje, Eratosten je oko 240 p.n.e. vrlo precizno izračunao obim naše planete. To je bio podvig koji je prevazilazio jednostavno naučno dostignuće. Eratostenovi proračuni, kao i mnogi drugi slični, uticali su na geodeziju (proučavanja oblika i veličine Zemlje) i pomogli razvoju budućih istraživanja i ekspanzija. Ironijom sudbine, nekoliko vekova kasnije Klaudije Ptolomej će odbaciti Eratostenove rezultate, što će u kombinaciji sa drugim matematičkim pogreškama koje će napraviti, dovesti do procene da je Zemlja mnogo manja nego što jeste, i učiniti da dugačka pomorska putovanja i istraživanja izgledaju mnogo izvodljivija.
Ali vratimo se Eratostenovom otkriću. Legenda kaže da je od nekih karavandžija načuo da se samo jednom godišnje, i to u vreme letnjeg solsticijuma[7], Sunce ogleda u vodi jednog bunara u Sijeni[8], što je značilo da se u tom trenutku Sunce nalazi direktno iznad njega. U podne 21. juna Sunce u Sijeni ne baca nikakvu senku, ali zato baca u Aleksandriji, koja se nalazi severno od Sijene i na (kako je verovao) istom meridijanu. Koristeći gnomon, jednostavni štapić čija se senka može izmeriti, Eratosten je odredio ugao te senke i video da je jednak pedesetini punog kruga. Ispravno rezonujući da su zbog ogromne udaljenosti Sunca njegovi zraci koji padaju na Zemlju praktično paralelni, zaključio je da kada bi znao razdaljinu dva grada, lako mogao da izračuna obim same Zemlje!
Raspitujući se kod vodiča kamila, dobio je podatak da prosečnom karavanu treba 50 dana da prevale to rastojanje. Ako kamile prelaze 100 stadiona dnevno, zaključio je da su Sijena i Aleksandrija udaljeni oko 5.000 stadiona[9] (oko 805 kilometara).
Na slici vidimo uglove sa paralelnim kracima, te su uglovi α i α’ jednaki; pa ako je α jednako jednoj pedesetini punog kruga, onda je toliki i ugao α’ (α’ = 7°12’). Ako je AS = 5.000 stadiona, onda je ceo obim kruga jednak 50×5.000 = 250.000 stadiona. Mada su naše predstave o pravoj dužini jednog stadiona prilično nejasne (pogotovu što su bile različite u Aleksandriji, Atini ili Rimu), dobijamo vrednost obima Zemlje malo veći od 42.600 km (stvarni je 40.000 kilometara).
Koristeći ovaj rezultat, možemo izračunati i sledeće:
 |
 |
Pravi poluprečnik Zemlje je 6.378 kilometara[10]. Eratostenov poluprečnik je za samo 6 procenata veći od danas izmerenog i proći će čitavih 2.000 godina dok 1671. godine francuski profesor i astronom Žan Pikar (Jean Picard, 1620-80) ne izmeri veličinu Zemlje preciznije od njega.
Da je mogao da koristi Aristarhove proračune, Eratosten je mogao da izračuna i poluprečnik Meseca i Sunca. Uradimo to mi umesto njega:
Po Aristarhu,videli smo da je poluprečnik Meseca 
Odatle dobijamo da je 
(Pravi poluprečnik Meseca je 1.738 kilometara.)
Takođe, Aristarh je iz odnosa poluprečnika Meseca i Sunca Rm/RS = 1/19 izračunao da je poluprečnik Sunca RS = 19 Rm, a to iznosi RS = 19 2.378,7 = 45.195,5 kilometara. (Pravi poluprečnik Sunca iznosi približno 696.000 km.)
Čitav problem oko preciznosti dobijenih vrednosti leži samo u tačnoj vrednosti jedinice stadion. Eratostenov rezultat je zapanjujući, čak i ako se uzme za vrednost stadiona 157,2 metara, kako su to neki zaključili iz vrednosti koje je pominjao Plinije. Manje je precizan ako se uzme vrednost 166,7 metara, kako je sugerisao Gulbekian[11]. Neka razmatranja tačnosti Eratostenovih računanja su posebno zanimljiva. Američki astronom i istoričar Denis Rawlins[12] ubedljivo konstatuje da je jedino merenje koje je Eratosten lično uradio u svom proračunu ono koje se odnosi na zenitnu udaljenost Aleksandrije u vreme letnjeg solsticijuma, za šta je dobio vrednost 7°12’. Roulins dokazuje da je greška 16’, dok su druge vrednosti koje koristi Eratosten, iz nepoznatih izvora, tačnije.
Rezultat je izuzetan i pored očiglednih grešaka koje danas uočavamo. Recimo:
- Udaljenost dva grada iznosi 729 km, a ne preko 800 km.
- Gradovi ne leže na istom meridijanu (razlika u geografskoj dužini je 3°).
- Sijena se ne nalazi iznad povratne tačke (ona je 55 km severnije).
- Ugaona razlika nije 7°12’, već 7°5’.
Takođe je vrlo neobično i uzimanje prosečne brzine karavana kamila: u cilju tačnosti jedna bi kamila dala sigurno precizniji rezultat, itd. Bilo kako bilo, oko 240. godine p.n.e. Zemlja je konačno bila premerena.
Po podacima koje nam je ostavio Plutath, Eratosten je izmerio i udaljenost Zemlje od Sunca (804.000.000 stadiona) i Meseca od Zemlje (780.000 stadiona), koristeći podatke dobijene za vreme pomračenja Meseca. Ako je verovati Ambroziju Makrobiusu[13], proračunao je i da je prečnik Sunca oko 27 puta veći od Zemljinog. Ptolomej nas obaveštava da je Eratosten proračunao nagnutost ekliptike[14], zapravo nagnutost Zemljine ose, sa velikom tačnošću, dobivši vrednost 11/83 od 180°, što iznosi 23,86°, odn. 23° 51’ 20’’ (tačna vrednost je ~23° 27’).
Reultat od 11/83 je toliko fascinirao istoričare matematike, da su mnogi naučni radovi posvećivani izučavanju ove vrednosti. Najčešće stanovište je da je vrednost 11/83 zapravo Ptolomejeva, a ne Eratostenova. Istoričar T. Hit se slaže da je Eratosten koristio vrednost 24°, a da je vrednost 11/83 od 180° preradio Ptolomej. Istoričar Kristian Tizbek[15] se slaže sa pripisivanjem ovog razlomka Ptolomeju, mada veruje da je Eratosten koristio vrednost vrednost 2/15 od 180°. Rolins i Fauler pišu da je za dobijanje vrednosti 11/83 Eratosten verovatno koristio metod ”kontinuiranog polovljenja”.
Eratosten je svoje teorije i proračune objavio u obimnom trotomnom delu ”Geografija” („Γεωγραφικα”), u čijem naslovu se, koliko se zna, prvi put pojavljuje ovaj termin koji označava ”pisanje o Zemlji”. Mada su njegovi proračuni bili osporavani još za vreme njegovog života, oni su ipak omogućili stvaranje mapa i globusa koji su preko hiljadu spadali među najpreciznije. To je, opet, probudilo interesovanje za geografiju i geodeziju, i ohrabrilo bezbrojne regionalne moreplovce da se otisnu u istraživačke pohode koristeći samo najprimitivniju navigatorsku opremu. Eratostenov rad je takođe učvrstio ideju o obliku Zemlje, i promovisao tada novu teoriju da klimu lokaliteta određuje njegova udaljenost od ekvatora.
”Geografija” je takođe pokrenula i koncept antipodova (grč. ”naopačke okrenuta stopala”) – neotkrivenih teritorija i ljudi koji žive sa ”druge strane” nama poznatog globusa.
Takođe je značajno i to da je Eratostenov rad inspirisao još jednog genijalca, grčkog astronoma i geografa Klaudija Ptolomeja, da u drugom veku posle Hrista i sam odredi obim Zemlje. Nažalost, on je odbacio Eratostenove proračune i oslonio se na (pogrešne) procene sirijskog geografa Posejdonija (grč. Ποσειδωνιος, 135-50 p.n.e.) iz Apamenije, po kome je jedan stepen geografske dužine iznosio približno 80 kilometara, umesto mnogo preciznijih 113 kilometara, kako je predlagao Eratosten. Iako je mereći dužine senke u različitim vremenskim intervalima Ptolomej u proračunima otišao dalje od Eratostena, ipak su njegove pogrešne pretpostavke i tumačenja dale mnogo manji obim Zemlje – svega oko 25.750 kilometara (u odnosu na tačnih 40.000 kilometara, ili Eratostenovih oko 42.600 kilometara).
Ptolomej je oko 150. godine svoje netačne rezultate objavio u slavnom delu ”Almagest”, koji će tokom čitavog Srednjeg veka biti najuticajnija knjiga iz astronomije i geografije u čitavom svetu. Ptolomejeve širom rasprostranjene greške o veličini Zemlje činile su mogućnost postojanja zapadnog prolaza ka Kini i Indiji još izvesnijim. Mada su mnogi umovi kritikovali njegove stavove, Ptolomejeve greške su, kao što smo već videli u ranijim poglavljima, igrale jako važnu ulogu u Kolumbovoj odluci da potraži pomorski put ka Indiji i Začinskim ostrvima.
* * *
|
Drago Dragović |
Ovo je još jedan od tekstova preuzetih iz naše najnovije knjige 'VELIKA OTKRIĆA I PRONALASCI'. Današnji tekst je deo velikog poglavlja o matematici i matematičarima, gde smo prema hronološkom redu opisali neke od najvećih umova naše poznate istorije. Pošto ih je bilo nemoguće sve makar i nabrojati, napravili smo svojevrstan „miks“: opisali smo biografije nekih najpoznatijih i najuticajnijih, ali pomenuli i neke o kojima se zna malo ili skoro ništa ali čije ideje i radovi žive i danas. Čini mi se da je najveća vrednost ovog poglavlja što se u njemu pominju stari kineski, indijski i arapski matematičari-astronom, o kojima se na Zapadu, čijoj obrazovnoj sferi sve više hrlimo, zna vrlo malo.
Nažalost, moram da napomenem da se baš ovo poglavlje o matematičarima, zajedno sa još nekim, nalazi u drugom tomu naše enciklopedije koja iz financijskih razloga nikad nije odštampana kao knjiga. to i jeste razlog zbog koga puštam povremeno pokoji tekst čitaocima.
[1] Antički grad na severu Afrike, danas Šahat (Shahhat), u Libiji. Osnovala ga je grupa iseljenika sa ostrva Tere oko 630 p.n.e. Njihov vođa Batus postaje prvi kralj i osniva dinastiju koja vlada do 440 p.n.e. U vreme dinastije Ptolemeja u Egiptu (od 323 p.n.e.), Kirena postaje jedan od najvećih intelektualnih centara antike i kolevka naučnika poput Eratostena i Aristipa, osnivača kirenske filosofske škole. Potpavši pod Rim 96 p. n. e., grad polako propada, sve do 642 n.e. kada ga osvajaju Arapi i kad konačno nestaje sa karte.
[2] Vladao od 305 p.n.e. do smrti 283 p.n.e.; makedonski general Aleksandra Velikog i osnivač dinastije koja će vladati najduže od svih na tlu Aleksandrove imperije i koja će nestala tek vojnim porazom 30 p.n.e. kada će Egipat postati rimska provincija.
[3] Ponovo ujedinio Egipat i Kirineju i uspešno vodio Treći rat (245-41) protiv seleukidskog (sirijskog) carstva. Reformisao kalendar, uzevši 311. kao prvu godinu Ptolemejeve ere. Uveo svake četvrte godine po jedan dan viška i odredio da godina traje 365 U dana.
[4]T. L. Heath, ”A History of GreekMathematics” (2 vol.) (Oxford, 1921).
[5] To je svaki ceo broj veći od 1, a deljiv samo sa 1 i sa samim sobom bez ostatka.
Oni počinju redom: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... ali nema predvidive šeme za određivanje sledećeg. Pitanje pravilnosti i nepravilnosti u rasporedu prostih brojeva je jedno od najvažnijih pitanja u Teoriji brojeva i najinteresantnije otvoreno pitanje i danas u matematici.
Prosti brojevi su bili poznati bezmalo još od III veka pre Hrista, kada su ih proučavali Eratosten i Euklid, koji je pronašao elegantan dokaz da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.
[6] Matematičar Nicomedes (grč. Νικομηδης,, oko 280-210 p.n.e.); u okviru rešavanja problema dupliranja kocke i deljenja ugla na tri dela, u svom delu ”O konkoidnoj krivoj ” oko 230 p. n. e. piše o otkriću svoje krive, tzv. ”školjke”, ili Nikomedove konkoide.
[7] Jedna od dve povratne tačke u godini kada je Sunce prividno najsevernije odn. najjužnije od Zemljinog ekvatora. Na severnoj polulopti to je 21/22 juna, odn. 21/22 decembra. Tada je severni pol naše planete nagnut ka Suncu za 23,44° (23° 27’).
[8] Danas grad Asuan na istočnoj obali Nila, iznad Prvog katarakta.
[9]Stadion (grč. στάδιον) je kod starih Grka od davnina bio jedinica za dužinu, ali je imao različite dužine - od 157 m do 211 m. Npr. olimpijska mera je bila dužine 176,4 m, italijanska je bila 184,8 m, valilonska 196,1 m, a feničansko-egipatska 209,2 metra. Pošto su u VIII veku p.n.e. stari Grci na svojim Olimpijadama imali stazu te dužine, današnja reč stadion vuče koren odatle.
[10] Pošto je Zemljina spljoštenost 1/298,257, onda je njen srednji ekvatorijalni poluprečnik 6.378 kilometara, a srednji polarni 6.357 kilometara.
[11] E. Gulbekian - ”The origin and value of the stadion unit used by Eratosthenes in the third century B.C”, (”Poreklo i vrednost jedinice stadion koju je koristio Eratosten u III veku p. n. e.”) Arch. Hist. Exact Sci. 37 (4) (1987), strana 359-363.
[12]J. D. Rawlins – ”Eratosthenes’ geodest unraveled: was there a high–accuracy Hellenistic astronomy”, Isis 73 (1982), strana 259–265.
[13] Rimski pisac iz V veka p.n.e. koji se bavio i naukom, posebno astronomijom.
[14]Ekliptika (grč. εκλειψιζ, – izostajanje, pomračenje). Sunčeva putanja, najveći krug na nebeskom svodu koji Sunce u godini dana prividno pređe (nazvan zbog toga što se u blizini toga kruga događaju pomračenja Sunca i Meseca).
[15]Christian Marinus Taisbak, ”Eleven eighty-thirds”. Ptolemy’s reference to Eratosthenes in Almagest 1.12, Centaurus 27 (2) (1984), 165-167.
KOJI TELESKOP DA KUPIM?
