Čitaoci mojih poznatih knjiga o matematici znaju šta osećam prema brojevima. Brojevi su portali za ostale univerzume. Brojevi nam pomažu da sagledamo veći univerzum koji je standardno zaštićen od naših malih mozgova, koji još uvek nisu dovoljno evoluirali da bi shvatili matematičko poimanje svemira. Matematičke rasprave na višem nivou pomalo podsećaju na poeziju. Danski fizičar Nils Bor isto je osećao prema fizici kada je rekao: „Mora nam biti jasno da, kada dođe do atoma, jezik može biti korišćen samo kao u poeziji”.
Kada pomislim o ogromnom okeanu brojeva koje su ljudi sakupili iz bezobalnog mora realnosti, prođe me jeza. Nadam se da ćete i Vi takođe zadrhtati dok prelazite brojeve od celih, razlomaka i radikala, sve do čudnijih zveri poput transcendentnih brojeva, hiperrealnih brojeva, nadrealnih brojeva, kvaterniona, bikvarteniona, sedeniona i oktoniona. Naravno, imali smo poteškoća sa takvim čudnim entitetima ali, s vremena na vreme, Bog je smeštao među nas vizionare koji deluju kao biblijski proroci, te pojedincima koji su dotakli univerzum čitav hvat dalje nego što bilo ko od nas može i da sagleda.
Šrinivasa Ramanuđan je bio takav prorok. Iščupao je matematičke ideje iz etera, iz svojih snova. Ramanuđan je bio jedan od najvećih matematičkih genija Indije i verovao je da su mu bogovi podarili pronicljivost. Što je naviralo u bljeskovima. Mogao je da čita matematičke matrice na isti način kao što je Neo, glavni glumac filma Matriks, imao pristup matematičkim simbolima koji su činili infrastrukturu realnosti dok su činili kaskadu o njemu. Ne znam da li je Bog šifrant, ali šifre se nalaze svuda oko nas čekajuci da budu dešifrovane. Za neke će biti potrebno hiljadu godina da bi ih razumeli. Neke će zauvek biti umotane u veo tajanstvenosti.
| Matematičari i religija. Tokom godina, mnogi čitaoci mojih knjiga su pretpostavili da čuveni matematičari nisu bili religiozni. Zapravo, dobar broj značajnih matematičara bio je veoma religiozan. Kao zanimljivu vežbu, sproveo sam anketu na internetu u kojoj sam pitao ispitanike da odgovore znaju li nekog religioznog matematičara. Najčešće navođeni, kao religiozni matematičari, bili su Isak Njutn i Blez Paskal. Na mnogo načina, potraga matematike za smislom beskonačnosti slična je mističnim nastojanjima da se shvati Bog. I religija i matematika se bore da izraze vezu između ljudi, svemira i beskonačnosti. Obe imaju tajanstvene simbole i rituale i nedokučiv jezik. Obe koriste najdublje kutke naših umova i podstiču našu maštu. Matematičari, poput sveštenika, traže „idealne”, nepromenljive, nematerijalne istine i onda se često usuđuju da primene ove istine u stvarnom svetu. Jesu li matematika i religija najmoćniji dokaz o pronalazačkom geniju čovečanstva? U delu “Razum i vera, večno povezani“ (20. decembar 2003, Njujork Tajms, B7), Edvard Rotštajn primećuje da je vera bila inspiracija Njutnu i Kepleru, isto kao i brojni naučni i matematički trijumfi. “Uverenje da postoji red u stvarima, da um može shvatiti taj red i da taj red nije beskonačno prilagodiv, ta naučna verovanja mogu obuhvatiti elemente vere”. U Kritici čistog uma, Imanuel Kant opisuje kako „golubica svetlosti, parajući vazduh svojim slobodnim letom i osećajući otpor na krilima, mogla bi pomisliti da bi njen let bio daleko slobodniji u praznom prostoru”. Ali ako bismo bili u mogućnosti da uklonimo vazduh, ptice bi se stropoštale. Je li vera – ili kosmički smisao misterije – poput vazduha koji dopušta istraživačima da uzlete? Ma koliko ljudi napredovali u matematici i nauci, uvek ćemo samo plivati u moru tajne. |
U The Matrix Reloaded, mudri arhitekta kaže Neu da je njegov život „suma podsetnika na neuravnoteženu jednačinu nerazdvojivih u programiranju
matriksa”. Slično tome, veliki švajcarski arhitekta Le Korbizije (1887-1965) mislio je da su se bogovi igrali brojevima u matrici izvan prosečne realnosti:
Divokoza pravi ogroman skok sa stene na stenu silazeći, svojom punom težinom, na papcima podržanih zglobom od dva centimetra u prečniku: to je izazov i to je matematika. Matematički fenomen se uvek razvija iz jednostavne algebre, tako korisne u svakodnevnom zivotu, a algebra iz brojeva, tog oružja bogova: bogovi su tamo, iza zida, igraju se brojevima (Le Korbizije, Modulor, 1968.).
Vek ranije, Ramanuđan je bio Matriksov Neo u našoj realnosti. Kao dečak, Ramanuđan je sporo naučio kako da govori. Sve svoje vreme provodio je škrabajući strane simbole na svojoj ploči od škriljca ili pišući jednačine u svojoj svesci. Kasnije u životu, dok je radio u odeljenju za računovođe u Madrasu, poštom je poslao neke od svojih jednačina čuvenom Britanskom matematičaru Dž. H. Hardiju. Hardi je istog trenutka bacio te jednačine u đubre, ali ih je kasnije ponovo uzeo radi detaljnijeg pregleda. Videći formule, Hardi je rekao da „u najmanju ruku, nikad nije video ništa slično“ i da su ga pojedine potpuno „porazile”. Ubrzo je shvatio da su jednačine „mogle biti napisane samo od strane matematičara najviše klase”. Hardi je napisao u Ramanuđan: Dvanaest lekcija da formule „moraju biti tačne, jer da nisu, niko ne bi imao dovoljno mašte da ih izmisli”.
Uistinu, Ramanuđan je uvek dolazio do rezultata koji bi predstavljao osećaj za intuiciju direktno iz carstva nesvesnosti. On je rekao da ga je indijska boginja inspirisala u njegovim snovima. Nisu sve njegove formule bile savršene, ali lavina stvarnih dragulja koje je iskopao iz rudnika stvarnosti nastavlja da potresa naše moderne umove. Ramanuđan je rekao da samo u matematici čovek može doživeti postvarenje Boga.
| Matematika i svemir Evo jedne duboke misli za početak našeg matematičkog puta. Da li mislite da je ljudska dugoročna opsednutost matematikom porasla zato što je svemir satkan od matematičkog vlakna? Približićemo se i ovom pitanju u nastavku ovog poglavlja. Za sada možete uživati znajući da je 1623. Galileo Galilej objasnio ovu veru u matematički svemir navodeći svoj kredo: „Velika kniga prirode je napisana matematičkim simbolima”. Platon je tvrdio da je Bog geometar, a ser Džejms Džins je verovao da je Bog eksperimentisao s aritmetikom. Isak Njutn je pretpostavljao da su planete prvobitno bačene u orbitu od strane Boga ali, čak i pošto je Bog ustanovio zakon gravitacije, planete su morale neprestano da podešavaju svoje orbite. |
Krvavi snovi i božji matematičari
Prema Ramanuđanu, bogovi su ostavili kapi žive krvi u njegovim snovima. Pošto je video krv, papiri koji su sadržali komplikovanu matematiku otkrili su se pred njim. Kada se probudio sledećeg jutra, naškrabao je samo deo od onoga što su mu Bogovi otkrili. U Čoveku koji je spoznao beskonačnost, Robert Kanidžel napominje da je lakoća s kojom su Ramanuđanova duhovnost i matematička isprepletanost označili „udarnu fleksibilnost uma i specifičnu promenljivost u cilju odbacivanja pojmovnih veza i beznačajnih asocijacija…“ Zaista, Ramanuđanova otvorenost za mistične poglede nameće da je „um obdaren dovitljivošću, fleksibilan, a elastične predstave o uzroku i posledici čine ga receptivnim za ono što oni, opremljeni čisto logičkim darovima, nisu mogli sagledati”.
Pre nego što završimo s Ramanuđanom, trebalo bi da naglasim da su mnogi drugi matematičari, kao što su Karl Fridrih Gaus, Džejms Hopvud Džins, Džordž Kantor, Blez Paskal i Džon Litlvud, verovali da je nadahnuće imalo božanski karakter. Gaus je rekao da je jednom dokazao teoremu „ne uz pomoć mučnog napora, već božjom milošću”.
Nadam se da ovi primeri ruše predstavu o tome da su matematika i religija dve potpuno različite oblasti ljudskog pregnuća. Naš matematički opis sveta se neprestano menja, ali naši mozgovi i jezičke veštine ostaju nepromenjene. Nove vrste matematike se stalno otkrivaju ili stvaraju, ali su nama potrebni novi načini razmišljanja i poimanja. U poslednjih nekoliko godina, na primer, matematički dokazi su bili ponuđeni kao rešenja za poznate probleme u istoriji matematike, ali argumenti su bili predugački i previše komplikovani da bi stručnjaci bili sigurni da su tačni.
Matematičar Tomas Hejlz je morao da čeka pet godina pre nego što su revizori njegovog rada iz geometrije – poslatog magazinu „Matematički anali“ – konačno odlučili da nisu mogli naći nikakve greške i da časopis treba da objavi Hejlzov dokaz, ali samo uz napomenu da oni nisu sigurni da je tačan! Uz to su matematičari. poput Kita Devlina, priznali (25. maj 2004, Njujork Tajms) da je “priča o matematici dostigla nivo takve apstrakcije da mnoge njene granične probleme nisu mogli da shvate čak ni stručnjaci”. Nema apsolutno nade da se ovi pojmovi približe široj javnosti. Možemo postavljati teorije i vršiti proračune, ali ne možemo biti dovoljno pametni da shvatimo, objasnimo ili prenesemo te ideje.
Fizička analogija je ovde bitna. Kada je Verner Hajzenberg brinuo da ljudska bića možda nikada neće stvarno razumeti atome, Bor je bio malo veći optimista. Odgovorio je: „Mislim da možemo već biti u stanju to da uradimo, ali ćemo u tom procesu morati da naučimo šta reč razumeti stvarno znači”. Danas koristimo računare kao pomoć u poimanju stvari izvan naše intuicije. Zapravo eksperimenti sa kompjuterima vode matematičare do otkrića i predstava o kojima nisu ni sanjali pre nego što su ovi uređaji postali sveprisutni. Kompjuteri i kompjuterska grafika omogućuju matematičarima da otkriju rezultate mnogo pre nego što formalno uspeju da ih dokažu, otvarajući tako potpuno nova polja u matematici.
Čak i jednostavni kompjuterski alati, kao što su spredšiti, pružaju savremenim matematičarima moć za kojom su Hajzenberg, Ajnštajn i Njutn mogli samo da čeznu. Kao samo jedan primer, krajem devedesetih, kompjuterski programi koje su napravili Dejvid Bejli i Helaman Ferguson pomogli su da se izrade nove formule koje su povezale pi sa log 5 i dve druge konstante. Kako Erika Klarih izveštava 24. aprila 2004, izdanje Sajans Njuz, kad je računar jednom izveo formulu, dokazivanje da je ona tačna bilo je krajnje jednostavno. Često je najveća prepreka u formulisanju dokaza upravo poznavanje odgovora.
| Šmidhuberovi krugovi Slika pokazuje fantastičnu kolekciju Šmidhuberovih krugova, nazvanih po svom pronalazaču, nemačkom matematičaru Jirgenu Šmidhuberu. Da biste konstruisali ovu šemu, započnite crtanje krugova proizvoljnih prečnika i centara. Izaberite proizvoljnu tačku na prvom krugu i iskoristite je kao centar drugog kruga istog prečnika. Prva dva kruga su definisana kao „legalni krugovi.“ Pravila za određivanje dodatnih legalnih krugova su:
Ova slika jeste rezultat rekurzivne primene ovih pravila (www.Idsia.ch/~juergen/). |
Matematička riznica
Uprkos svoj mojoj mističnoj priči o matematici i božanstvenosti, matematika je očigledno praktična. Matematika je direktno uticala na svaku naučnu oblast i od neprocenjivog je značaja u poljima od nauke do sociologije, od prikazivanja ekoloskih šteta i širenja zaraza do razumevanja arhitekture naših mozgova. Prema tome, zabava, uvrnute činjenice, anegdote, jednačine i zagonetke u ovoj knjizi predstavljaju metafore za fantastičan domašaj primene i simbolike matematike.
U stvari, ova knjiga je riznica slagalica, citata, činjenica, trivijalnosti i ozbiljnih problema za razmatranje. Možete odabrati neku od različitih poslastica koje su stavljene na tanjir još ranije. Problemi se menjaju sa oblašću, pa imate slobodu da ukratko pređete koncepte od Čempernaunovog broja do Gebelovog broja, tako velikog broja da ga je veoma teško pojmiti. Neke od slagalica su nasumično poređane da podstaknu osećaj avanture i iznenađenja. Moj mozak je brzi voz, a zagonetke deo velikog mozga rasutog po šinama.
Povremeno, ove zagonetke će izgledati jednostavne i frivolne: na primer, „Zašto krug ima 360 stepeni?“ Ili, „Da li je i nula broj?“ Ili, „Koja registarska tablica se najlakše pamti?“ Ili, „Da li je Isus mogao da izračuna koliko je 30 x 24?“ Uglavnom, ovo su pitanja koja ljubitelji često meni postavljaju, a ja najviše volim ove „zavijuše”. Slažem se sa austrijskim fizičarem Paulom Ehrenfestom, koji je rekao: „Pitajte. Ne plašite se da ćete ispasti glupi. Na glupa pitanja je najčešće najteže odgovoriti. Ona teraju govornika da razmišlja o osnovnom problemu”.
Takođe ću vas provocirati maštovitim formulama, kao onim koje krase Ramanuđanovu knjigu. Ponekad je moj cilj da vas jednostavno oduševim velelepnim jednačinama za razmišljanje. S vremena na vreme, koncepti se ponavljaju, samo radi utvrđivanja znanja i prepoznavanja identičnog
problema u novom obliku. Različiti načini dobijanja istih rešenja ili koncept koji otkriva stvari koje pojedinačni pristupi ne mogu.
Dugi niz godina zaljubljen sam u rekreativnu matematiku zbog njene obrazovne vrednosti, imajući u vidu da čak i jednostavni problemi pokreću maštu. Korist od matematike nam omogućava da gradimo svemirske brodove i da istražujemo geometriju svemira. Brojevi će biti naš primarni način komuniciranja sa inteligentnim vanzemaljskim rasama.
Drevni narodi, poput Grka, duboko su bili fascinirani brojevima. Da li je moguće da su u teškim vremenima brojevi bili jedina konstantna stvar u večno promenljivom svetu? Prema Pitagorejcima, drevnoj grčkoj sekti, brojevi su bili dodirljivi, nepromenljivi, večni – pouzdaniji od prijatelja, manje grozomorni od Zevsa.
Obrada večitih misterija
Predivan spektar odnosa u prirodi može se iskazati korišćenjem celih brojeva i njihovih odnosa. Jednostavni brojčani obrasci opisuju spiralno raspoređene semenke suncokreta, ljuske na šišarkama, raspored grana na drveću, i periodične životne cikluse kod insekata. Matematičke teorije su predvidele fenomene koji su potvđeni tek godinama kasnije. Maksvelove jednačine, na primer, predvidele su radio talase. Ajnštajnove jednačine polja ukazuju da gravitacija savija svetlost i da svemir teži da se širi. Fizičar Pol Dirak je primetio da nam apstraktna matematika, koju danas učimo, pruža letimičan uvid u fiziku iz budućnosti. U stvari, njegove jednačine su predvidele postojanje antimaterije, čije je otkriće usledilo. Slično tome, matematičar Nikolaj Lobačevski je rekao da “ne postoji grana matematike, koliko god apstraktna bila, koja neće biti korišćena za rešavanje fenomena u realnom svetu”.
Čuveni slučaj u kom su učestvovali Mari Gel-Man i njegove kolege demonstrirali su predvidivu moć matematike i simetrije s obzirom na postojanje subatomske čestice, zvane Omega-minus. Gel-Man je nacrtao geometrijski, simetrični obrazac u kom je svaka pozicija u obrascu, osim jednog praznog mesta, sadržala po jednu poznatu česticu. Gel-Man je stavio prst na jednu tačku i rekao, sa krajnje mističnom pronicljivošću: „Ovde se nalazi čestica”. Njegova pretpostavka se pokazala tačnom a analitičari su kasnije otkrili povezanost čestica sa praznim mestom.
Jedan od mojih omiljenih citata, koji opisuje mističnu stranu nauke, potiče iz knjige Ričarda Pauera “Zlatne muke varijacija”: „U nauci se ne radi o kontroli, već o obradi večnog stanja čuda u ruhu nečega što zauvek raste jedan korak više i veštije od naše prethodne teorije. Radi se o poštovanju a ne vladanju”.
Danas matematika prožima svako polje naučnog pregnuća i igra neprocenjivu ulogu u biologiji, fizici, hemiji, ekonomiji, sociologiji i mašinstvu. Matematika može biti od velike pomoći u objašnjavanju sastava duge, uči nas kako da zaradimo novac na berzi, upravljamo svemirskim brodom, sastavljamo vremenske prognoze, predviđamo natalitet, projektujemo zgrade, odmeravamo sreću i analiziramo širenje AIDS-a.
Matematika je uzrokovala revoluciju. Ona nam je oblikovala misli. Oblikovala je način na koji mislimo.
Matematika je promenila naš pogled na svet.
* * *
Pred vama je odlomak iz knjige "Strast za matematikom" autora Kliforda Pikovera, koju je izdala NNK International iz Beograda 2007. godine.
Strast za matematikom je obrazovno, zabavno putovanje kroz čudesni svet matematike, u kom se mešaju istorija, biografije, filozofija, teorija brojeva, geometrija, verovatnoca, granicni brojevi i nerešive zagonetke u divno sabranoj zbirci koja ce zasigurno jednako goditi matematickim zaludenicima, studentima i iskusnim matematicarima.
Klliford Pikover nam u svakom poglavlju pruža faktoide, anegdote, definicije, navode i opčinjavajuće izazove koji sežu od zabavnih dosetki i zagonetki do suludo teških problema. Srešcete se sa luckastim matematičarima, čudesnim nizovima brojeva, tvrdokornim brojevima, čudnim konstantama, magičnim kvadratima, fraktalnim grafikonima, majmunima koji kucaju Hamleta, sa beskonačnošcu i još mnogo, mnogo čime.
, 
KOJI TELESKOP DA KUPIM?
